やる夫で学ぶ高校数学 第2章


2 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/27(木) 23:49:37.35 ID:SG/YE39u0
   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  
  |     ` ⌒´ノ  次は平方根だ。
.  |         }  正の数aについて、平方してaになる数、即ち、
.  ヽ        }  x^2 = aとなる数xを、aの平方根という。
   ヽ     ノ        \aの平方根は2つある。正の平方根√aと、負の平方根-√aだ。
   /    く  \        \これらは絶対値が等しくて符号が逆だ。
   |     \   \         \ちなみに、0の平方根は1つしかない。それとは、0だよな。
    |    |ヽ、二⌒)、          \ √a^2 = |a|だ。何故なら、aは正かもしれないし、負かもしれないからだ。
例えば、√(-2)^2 = |-2| = 2。
また、√(-2)^2 = √4 = 2。 平方根の基本性質は、下に書いた。
a>0、b>0とするとき、
√a√b = √(ab) √(a^2・b) = a√b


3 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/27(木) 23:51:23.19 ID:SG/YE39u0
   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  加えて、二重根号の話をしよう。
  |     ` ⌒´ノ 二重根号とは、√の中に更に√がある状態のことをいう。
.  |         }  うまくいけば、分解して2つの√に分けることができる。
.  ヽ        }
   ヽ     ノ        \下に二重根号を外せる場合の式とその結果を書いた。
   /    く  \        \証明は、自分で頑張ってほしい。
   |     \   \         \a=(√a)^2 であることがヒントだ。
    |    |ヽ、二⌒)、          \

a,b共に正のとき、
√{a+b+2√(ab)} = √a + √b
また、a>b>0のとき、
√{a+b-2√(ab)} = √a - √b


5 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/27(木) 23:51:51.28 ID:SG/YE39u0
   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  いよいよ二次方程式だ。
  |     ` ⌒´ノ 二次方程式 ax^2 + bx + c = 0 を満たす解xは、
.  |         }  結果としてx={-b±√(b^2 -4ac)}/2a だ。
.  ヽ        }  証明はもちろんできなければいけない。単なる式変形だからな。
   ヽ     ノ        \ また、この公式は絶対覚えること。絶対だ。
   /    く  \        \高校数学の課程であるT〜V、A〜Cにおいて、
   |     \   \         \問題を解くための全ての基礎がコレだ。
    |    |ヽ、二⌒)、          \

証明は教科書にあるので参照されたい。
尚、証明の途中にある「平方完成」は、今後頻繁に利用することになるので、マスターすること。
※平方完成
x^2 + a = ★(x + a/2)^2 - (a/2)^2
★の項が、平方式になっている。この変形を、平方完成という。


58 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 00:34:09.25 ID:Ee05+DgM0
>>3>>5の証明を知りたいんだがどっかにサイトないかね?

>>58
前者は二重根号、後者は二次方程式でググれば直ぐ出ると思います。


6 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/27(木) 23:52:20.69 ID:SG/YE39u0
   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  では例題だ。
  |     ` ⌒´ノ 方程式ax^2 + bx + c = 0 を解け。
.  |         }  
.  ヽ        }
   ヽ     ノ        \
   /    く  \        \
   |     \   \         \
    |    |ヽ、二⌒)、          \


7 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/27(木) 23:53:18.95 ID:SG/YE39u0
     ____
    / ⌒  ⌒  \  これはたぶん、「二次方程式」と言っていないところがミソだお。
  ./( ―) ( ●)  \  ( i ) a = 0 のとき、bx + c = 0 ゆえ、x=-c/b
  /::⌒(_人_)⌒:::::  | ( ii ) a ≠ 0 のとき、解の公式より、x={-b±√(b^2 -4ac)}/2a
  |    ー       .|
  \          /


8 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/27(木) 23:53:55.97 ID:SG/YE39u0
   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  まあ・・・そうだな。ところでやる夫、
  |     ` ⌒´ノ √の中の数には、何か決まりがなかったか?
.  |         }  
.  ヽ        }
   ヽ     ノ        \
   /    く  \        \
   |     \   \         \
    |    |ヽ、二⌒)、          \
       ____
     /      \
   / ─    ─ \
  /   (●)  (●)   \
  |      (__人__)    | えーと・・・正または0であること?
  \     ` ⌒´     /


9 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/27(木) 23:54:21.89 ID:SG/YE39u0
   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  だよな。しかし、解の公式にある、√(b^2 - 4ac)が正だなんて
  |     ` ⌒´ノ この例題では設定されてないな?
.  |         }  
.  ヽ        }
   ヽ     ノ        \
   /    く  \        \
   |     \   \         \
    |    |ヽ、二⌒)、          \

       ____
     /      \
   / ─    ─ \
  /   (●)  (●)   \
  |      (__人__)    | あー・・・じゃあ、「ただし、b^2 - 4ac < 0であるとき、
  \     ` ⌒´     / 解はない」でいいのかお?


12 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/27(木) 23:54:57.12 ID:SG/YE39u0
   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  そう言いたいところだが、高校数学では言葉を選ばないとそれじゃ減点されてしまう。
  |     ` ⌒´ノ b^2 - 4ac(この式のことを、判別式(Dで表す)という)<0 であるときは、
.  |         }  「実数解は存在しない」と言うんだ。
.  ヽ        }  実は、「複素数」まで数の範囲を広げて考えると、
   ヽ     ノ        \判別式D<0のときでも、「虚数解」というものが存在する。
   /    く  \        \本来複素数は数学Uの範囲だが、
   |     \   \         \この際だから複素数についても軽く学んでしまおう。
    |    |ヽ、二⌒)、          \


15 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/27(木) 23:55:59.08 ID:SG/YE39u0
   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  まずやる夫、なぜ、√の中に負の数が入ってはいけなかったのか、
  |     ` ⌒´ノ 知ってるか?
.  |         }  
.  ヽ        }
   ヽ     ノ        \
   /    く  \        \
   |     \   \         \
    |    |ヽ、二⌒)、          \


16 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/27(木) 23:56:28.41 ID:SG/YE39u0
                ____   ,
              /     \  -
            / ―   ― \`   ホジホジ・・・
           /   (● ) (● )  \
           |     (__人__)      | えーと、確か、x^2 = (負の数) を満たすxはないからだお。
           \ .   `⌒´     / だって、2乗したら絶対正になるから。
.           mj~i
           〈__ノ
          ノ   ノ
正^2 = 正×正 → 正
負^2 = 負×負 → 正

   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●) その通りだ。
. |     (__人__)  しかし、このままだと、二次方程式に解があるときとないときがあることになる。
  |     ` ⌒´ノ  かつての数学者達は、そういう状態を嫌がった。
.  |         }   そこで、二乗したら負になる新しい数の概念を考えた。
.  ヽ        }   それが、「虚数」だ。
   ヽ     ノ        \
   /    く  \        \
   |     \   \         \
    |    |ヽ、二⌒)、          \


19 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/27(木) 23:57:08.43 ID:SG/YE39u0
       ____
     /_ノ  ヽ、_\
   o゚((●)) ((●))゚o
  /::::::⌒(__人__)⌒::::: \  勝手に数つくんなおwwww
  |     |r┬-|     |    (⌒) 数学者は三次元で欲望を満たせないからって
  |     | |  |     |   ノ ~.レ-r┐、二次元(数学)でやりたい放題すんなおwwww
  |     | |  |     |  ノ__  | .| | |
  \      `ー'´     /〈 ̄   `-Lλ_レレ
                  ̄`ー‐---‐‐´

   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  そうだな・・・確かに、実際に存在し得ない数を勝手に考えることには、
  |     ` ⌒´ノ 数学者達の間でさまざまな議論があった。
.  |         }  賛否両論だったんだ。
.  ヽ        }  まあ、結局、虚数は数学会に広く認められることとなった。
   ヽ     ノ        \何故かって、虚数を導入しても、今までの計算法則に支障が現れるなかったからだ
   /    く  \        \(実は例外がある。後で紹介)。
   |     \   \         \むしろ、虚数のおかげで、全ての代数方程式に、方程式=0を満たす解が少なくとも1つあることが保証された。
    |    |ヽ、二⌒)、          \ やる夫、そんなこと言うが、昔は、負の数も認められていなかったんだぜ?


22 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/27(木) 23:58:06.66 ID:SG/YE39u0
   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  虚数は現実にない数というが、
  |     ` ⌒´ノ 敬遠されるどころか、例えば現代の工業技術は、「虚数」まで考慮した数学を積極的に活用している。
.  |         }  まあ、そこらへんは、大学で機械科を専攻した人なら、入学後すぐ体験することになるさ。
.  ヽ        }  余談はこれくらいにしといて、虚数と複素数の具体的な話をしよう。
   ヽ     ノ        \
   /    く  \        \
   |     \   \         \
    |    |ヽ、二⌒)、          \

二乗して-1になる新しい数を記号iで表す、すなわち、i^2 = -1 このiを、虚数単位という。

実数a,bに対し、a+bi の形で表される数を、複素数という。
aの値に関わらず、ともかくb≠0であれば、虚数と呼ぶ。(b=0なら、おなじみの実数)
ちなみに、、a = 0 かつ b ≠ 0 のとき、これを純虚数という。

これからは、この講義では、i以外の、係数として用いられる全ての記号を実数とする。


23 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/27(木) 23:59:13.50 ID:SG/YE39u0
       ____
     /      \
   / ─    ─ \
  /   (●)  (●)   \
  |      (__人__)    | ふーん・・・まあ、イメージできないからよくわからんが
  \     ` ⌒´     /


   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  そうだな・・・実数は数直線で表せるが、
  |     ` ⌒´ノ 複素数まで広がると、複素数の位置は「複素数平面」にしないと書けない。
.  |         }  ちなみに、複素数平面については、今の高校の課程に入ってないからここでは話さないことにするが、
.  ヽ        } 複素数平面を用いると、複素数に関する非常に興味深い定理や性質を見ることができる。
   ヽ     ノ        \まあ、興味があれば、学校の先生にでも聞いてくれ。
   /    く  \        \
   |     \   \         \
    |    |ヽ、二⌒)、          \


24 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/27(木) 23:59:55.19 ID:SG/YE39u0
   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  複素数では、高校では深くつっこまないから、
  |     ` ⌒´ノ 「ああ、こんな数も考えられているのか」程度の考えでかまわない。
.  |         }  でも、しっかり入試では出題されるから、
.  ヽ        }  最低限の理解はしてもらうぞ。
   ヽ     ノ        \
   /    く  \        \
   |     \   \         \
    |    |ヽ、二⌒)、          \

<複素数の性質>
a + bi = c + di ⇔ a = c かつ b = d
複素数の計算では、iをaやbなんかの文字と同じに考えて、実数の場合と全く同様に行い、
i^2が現れたとき、それを-1でおきかえる。
注意すべきなのは、虚数α、βについて、一般に√α√β = √(αβ)が成り立たないことだ。
例えば、√-3√-4は√(-3)(-4) = √12 = 2√3 としてはダメ。
どっちも、先に√-1つまりiを抜き出してやらねばならない。
だから、√-3√-4 = √3 * i * √4 * i = 2√3 * i^2 = -2√3 だ。


25 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 00:00:24.06 ID:qlCu1+N40
   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  まあ、深く考えないことだ。例題を1題だけ解いて、二次方程式の話に戻ろう。
  |     ` ⌒´ノ 次の方程式
.  |         }  (1 + i)x^2 + (5 + 7i)x + 6 + 10i= 0 を解け。
.  ヽ        }
   ヽ     ノ        \
   /    く  \        \
   |     \   \         \
    |    |ヽ、二⌒)、          \


26 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 00:01:05.15 ID:qlCu1+N40
     ____
   /      \
  /  ─    ─\
/    (●)  (●) \ 
|       (__人__)    | 
/     ∩ノ ⊃  / 二次方程式っぽいけど・・・解の公式を使えばおk?
(  \ / _ノ |  | 
.\ “  /__|  |  
  \ /___ /  

   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  解の公式は、係数が実数のときだけ使え。
  |     ` ⌒´  まずは、相等条件a + bi = c + di ⇔a = c かつb = dを利用する。
.  |         }  この場合、a + bi = 0 だから、a = 0 かつ b = 0 だな。
.  ヽ        }
   ヽ     ノ        \
   /    く  \        \
   |     \   \         \
    |    |ヽ、二⌒)、          \

与方程式⇔
x^2 + 5x + 6 + i(x^2 - 7x +10) = 0 ⇔
x^2 + 5x + 6 = 0 かつ x^2 + 7x + 10 = 0
前者の解は、x=2または3、
後者の解は、x=2または5
よって、両方に共通する解、すなわち方程式の解は x=2


55 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 00:28:27.53 ID:8ACcK457O
>>25の解って
x=−(3+5i)/(1+i)
は虚数があるからだめなの?

>>55
虚数が係数に入っているときは基本的に解説の解き方でやるんですけどね・・・
それ、式に代入して0になりましたか?


86 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 01:15:44.39 ID:qlCu1+N40
>>25について。
>>25の問題は、実数解を求める、という暗黙の条件がありますが、書き忘れていましたね。
a+bi=0 ⇔a=0かつb=0というのは、
a,b共に実数であることが条件です。
この問題では、未知数であるxを含んだ方程式がa,bに相当するので、上の相等関係が成り立つのはxが実数の時のみです。
ですから、複素数まで解を認めるとき、>>55さんの書かれた解も解答とする必要があります。


27 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 00:01:47.93 ID:qlCu1+N40
   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  さて、2次方程式に関する演習問題をまとめてやってもらおう。
  |     ` ⌒´ノ 今日の講義は、この演習の解説で終わりにする。
.  |         }  
.  ヽ        }
   ヽ     ノ        \
   /    く  \        \
   |     \   \         \
    |    |ヽ、二⌒)、          \

(1)二次方程式 ax^2 + 2bx + c = 0 を解け。
(2)二次方程式 ax^2 + bx + c = 0が重解(2つの解が同じ値をとる)を持つときの条件をいえ。
(3)地上から毎秒40mの速さで真上に投げ上げた物体の、投げ上げてからt秒後の高さはおよそ(40t - 5t^2)mであるという。
(a)物体の高さが50mとなるのは、投げ上げてから何秒後か。
(b)物体は、投げてから何秒後に最高点に達するか。
(4)ニ次方程式ax^2 + bx + c = 0 の2つの解をα、βとするとき、α+β、αβ、α^2 + β^2を求めよ。
(5)二次方程式ax^2 + bx + c = 0 の2つの解をα、βとするとき、この方程式をb,cを使わず(α、βを用いて)表せ。
(6)(5)の結果を用いて、多項式16x^2 - 8x - 15を因数分解せよ。
(7)ニ次方程式x^2 - 3px + 2p + 4 = 0の1つの解が、他の解の2倍であるとき、定数pの値を求めよ。
(8)実数係数の2次方程式x^2 + ax + b = 0、x^2 + cx + d = 0がいずれも実数解を持たないとき、
  2x^2 + (a+c)x + (b + d) = 0 も実数解をもたないことを証明せよ。(慶応大・改題)


36 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 00:14:36.42 ID:qlCu1+N40
     ____
   /      \
  /  ─    ─\
/    (●)  (●) \ 
|       (__人__)    | (1)解の公式より、
/     ∩ノ ⊃  / x= {-2b ±√(4b^2 - 4ac)}/2a
(  \ / _ノ |  | ん・・・これは分子分母を2で約分できるお。
.\ “  /__|  |  x = {-b ±√(b^2 - ac)}/a
  \ /___ /  

   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  正解だ。このようにして、2次方程式のxの係数が2の倍数であるとき、
  |     ` ⌒´ノ x = {-b ±√(b^2 - ac)}/a として、約分しないでダイレクトに求められる。
.  |         }  これは公式として覚えておくと便利だ。
.  ヽ        }
   ヽ     ノ        \
   /    く  \        \
   |     \   \         \
    |    |ヽ、二⌒)、          \


37 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 00:15:29.10 ID:qlCu1+N40
         ____
       /      \
      /  ─    ─\
    /    (●)  (●) \
    |       (__人__)    |
     \      ` ⌒´   / (2)
    ノ           \    ・・・日本語でおk
  /´               ヽ
 |    l              \
 ヽ    -一''''''"~~``'ー--、   -一'''''''ー-、.
  ヽ ____(⌒)(⌒)⌒) )  (⌒_(⌒)⌒)⌒))

   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  解の公式を思いだそう。
  |     ` ⌒´ノ x={-b±√(b^2 -4ac)}/2a
.  |         }  これで、解が2つ現れる要素はどこだ?
.  ヽ        }  そう、プラマイ記号のある、√(b^2 -4ac) の部分だ。
   ヽ     ノ        \ここで、判別式D =b^2 -4acの登場だ。
   /    く  \        \重解が出てくるってことは、プラマイで2通りに分かれるこの部分が0であればいいだろう?
   |     \   \         \つまり、D = 0 ⇔ b^2 -4ac = 0 これで解答としてよい。
    |    |ヽ、二⌒)、          \ これ以上は計算しようがないからな。


38 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 00:16:10.35 ID:qlCu1+N40
     ____
   /      \
  /  ─    ─\
/    (●)  (●) \ 
|       (__人__)    | (3)(a)40t - 5t^2 = 50とし、tについての2次方程式として解けば、
/     ∩ノ ⊃  / t = 4 - √6 または t = 4 + √6 
(  \ / _ノ |  |  ・・・2つ出てくるお
.\ “  /__|  |  
  \ /___ /  

   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  
  |     ` ⌒´ノ 2つあっていいんだよ。
.  |         }  4-√6はボールが上がる際中に50mに到達するときで、
.  ヽ        }  4+√6はボールが最高点に達した後、落ちる際中に50mに到達するときだ。
   ヽ     ノ        \まあ、確かに「解を吟味する」ことは大事だ。
   /    く  \        \たとえば、これでt = 1 ± √3とか出たら、
   |     \   \         \tは必ず正だから、1-√3は解として不適、
    |    |ヽ、二⌒)、          \ よって解は1+√3 ・・・ とかな。


39 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 00:16:54.21 ID:qlCu1+N40
     ____
   /      \
  /  ─    ─\
/    (●)  (●) \ 
|       (__人__)    | (3)(b) 
/     ∩ノ ⊃  / 最高点をhとすると、40t - 5t^2 = h
(  \ / _ノ |  |  うーん・・・このままじゃ解にhが入ってきてしまうお
.\ “  /__|  |  
  \ /___ /  

   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  「最高点」であることに注意して考えよう。
  |     ` ⌒´ノ たとえば50mにあるときの時間は、さっき求めたように2つ存在するが、
.  |         }  最高点に達するときは、そうなる時間は1つしか存在しない。
.  ヽ        }  つまり、二次方程式の範疇で考えれば、tが重解を持つんだ。
   ヽ     ノ        \だから、判別式D = 1600 - 20h = 0より、h = 80
   /    く  \        \よって、方程式は5t^2 - 40t + 80 = 0
   |     \   \         \∴( t - 4 )^2 = 0 、t=4で、4秒後だ。
    |    |ヽ、二⌒)、          \


40 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 00:17:28.59 ID:qlCu1+N40
     ____
   /      \
  /  ─    ─\
/    (●)  (●) \ (4)
|       (__人__)    | α+β、αβについては、解の公式から得られるプラマイ2つの解を+√と-√に分け、
/     ∩ノ ⊃  / 単純に足し、掛ければいいだけだから、すぐ出るお。
(  \ / _ノ |  |  α+β=-b/a、αβ=c/a
.\ “  /__|  |  α^2 + β^2 て・・・これ、解を2乗すんの?
  \ /___ /  面倒くさくてやってられんお

   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  工夫して計算するんだ。
  |     ` ⌒´ノ α^2 + β^2 = (α+β)^2 - 2αβだから、
.  |         } (b/a)^2 - 2c/a これでいいだろう。
.  ヽ        }
   ヽ     ノ        \ちなみに、α+βとαβが、それぞれ-b/a、c/aとなることは、
   /    く  \        \今後利用すると便利なことが多いので、必ず覚えよう(これを、解と係数の関係という)。
   |     \   \         \
    |    |ヽ、二⌒)、          \


42 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 00:19:26.11 ID:qlCu1+N40
     ____
   /      \
  /  ─    ─\
/    (●)  (●) \(5)えーと・・・これは・・・ 
|       (__人__)    |b,cの代わりにα、βを使いたいんだから・・・ 
/     ∩ノ ⊃  / 解と係数の関係とやらを使えばいいのか。
(  \ / _ノ |  | b=-a(α+β)、c=aαβ だから、
.\ “  /__|  | 与方程式=ax^2 - a(α+β)x + aαβ
  \ /___ /         =a{x^2 - (α+β)x + αβ} =a(x-α)(x-β) ←因数分解公式より

   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__) これは論理でも考えられるな。 
  |     ` ⌒´ノ 解がαとβなんだから、x=αまたはx=βで方程式が成り立つ。
.  |         }  即ち、x-α=0またはx-β=0だな。
.  ヽ        } 2式を辺々掛けると、(x-α)(x-β) = 0 だ。
   ヽ     ノ        \そして、x^2の係数が1ではないときは、それをaとしてくっつけてやればいいな。
   /    く  \        \よってa(x-α)(x-β)=0
   |     \   \         \これは決してこじつけではなく、言うならば論理による帰結だ。
    |    |ヽ、二⌒)、          \


43 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 00:20:32.60 ID:qlCu1+N40
     ____
   /      \
  /  ─    ─\
/    (●)  (●) \ 
|       (__人__)    | (6)とりあえず与式=0として方程式を満たすxを求めたお。 
/     ∩ノ ⊃  /x=(4±16)/16 = (1±4)/4 すなわちx=5/4、-3/4
(  \ / _ノ |  |  だから・・・与式=16(x-5/4)(x+3/4) でいいのかな?
.\ “  /__|  |  
  \ /___ /  

   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__) そうだな。まあ、式の項を全部整数にした方が見た目きれいだな。
  |     ` ⌒´ノ それぞれのカッコに、16から4ずつ分配してやって、
.  |         }  与式=(4x - 5)(4x + 3)
.  ヽ        }
   ヽ     ノ        \
   /    く  \        \
   |     \   \         \
    |    |ヽ、二⌒)、          \


44 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 00:21:08.19 ID:qlCu1+N40
     ____
   /      \
  /  ─    ─\
/    (●)  (●) \ 
|       (__人__)    | (7)解の公式使えばいいのかな・・・でもこれ、解を求めろとは言ってないし・・・ 
/     ∩ノ ⊃  /
(  \ / _ノ |  |  
.\ “  /__|  |  
  \ /___ /  

   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__) 解と係数の関係を使おう。題意より解をα、2αとおくことができる(1つの解が、他の解の2倍であるから)。
  |     ` ⌒´ノ 解と係数の関係より、α+2α=3p ⇔α=p・・・@ どうやら解の1つはこの定数pらしいな。
.  |         }  また、α×2α=p+2 ⇔α^2 = p + 2 ・・・A
.  ヽ        } @を用いてAからα^2を消去すると、p^2 = p + 2 これをpの二次方程式として解いて、p=-1,2
   ヽ     ノ        \ゆえにp=-1,2
   /    く  \        \
   |     \   \         \
    |    |ヽ、二⌒)、          \


45 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 00:22:08.05 ID:qlCu1+N40
       ____
     /ノ   ヽ、_\
   /( ○)}liil{(○)\(8)やる夫をなめてんのかお!
  /    (__人__)   \テストで5点のやる夫が、改題とはいえ慶応の問題を解けるわけねーお!
  |   ヽ |!!il|!|!l| /   |
  \    |ェェェェ|     /

   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__) それはどうかな。
  |     ` ⌒´ノ2x^2 + (a+c)x + (b + d)=0が実数解をもたないとは、この方程式の判別式
.  |         }  D = (a+c)^2 - 8(b+d) < 0 (・・・@)であればいいな(つまり、方程式が虚数解を持つ)。
.  ヽ        } ここで、x^2 + ax + b = 0,x^2 + cx + d = 0も実数解をもたないことから、
   ヽ     ノ        \a^2 - 4b < 0、c^2 - 4d < 0 不等式を辺々足すと(足すのには、向きが変わらないので不等式の場合も可能、引くと向きが変わるので注意!)
   /    く  \        \a^2 + c^2 -4(b + d)<0 ⇔-4(b+d)<-(a^2 + c^2)
   |     \   \         \⇔-8(b+d)<-2(a^2 + c^2) よって、@のDより
    |    |ヽ、二⌒)、          \ D = a^2 + 2ac + c^2 -8(b+d)<a^2 + 2ac + c^2 -2a^2 + 2c^2
=-(a^2 - 2ac + c^2)=-(a-c)^2<0(実数の2乗は正だから、それにマイナスをかけたものは負!)
よって、方程式2x^2 + (a+c)x + (b + d)=0もまた、実数解を持たない。 (証明終わり)


46 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 00:22:45.73 ID:qlCu1+N40
     ____
   /      \
  /  ─    ─\
/    (●)  (●) \ 
|       (__人__)    | ふむ・・・確かに、落ち着いてやってれば、わけわからんことはないお
/     ∩ノ ⊃  /むしろ、変わったことは何1つしてないお
(  \ / _ノ |  |  
.\ “  /__|  |  
  \ /___ /  

   / ̄ ̄\
 /   _ノ  \
 |    ( ●)(●)
. |     (__人__)  だろ?そうなんだよ。難関大だからといって、問題を解くのに奇妙なテクニックが必要なわけじゃない。
  |     ` ⌒´ノ むしろ、難関大ほど、磐石 な「基本」が求められるんだ。
.  |         } みんなも、自分がちゃんと基本を身につけられているかどうか調べるために、
.  ヽ        } 恐れず難関大の良問をどんどん解いていこう!
   ヽ     ノ        \
   /    く  \        \今日はここまで。多分次回は、来週あたりになると思う。
   |     \   \         \お聞き頂き、ありがとうございました。
    |    |ヽ、二⌒)、          \


質問タイム


63 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 00:40:07.26 ID:jBxNLmTt0
算数は好きかね?
66円のかきと35円のみかんをあわせて3890円分買った。
かきとみかんは何個ずつ買ったか?

これって数学で解けるのかな?


65 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 00:44:21.74 ID:9RnJOyiY0
>>63
これは互助法じゃね?


73 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 00:57:27.51 ID:9RnJOyiY0
互除法は使わなかったけど
かき -324コ
みかん 611コ
を買うと1円だからあとは両方正になるように個数をずらしていけば求まる


82 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 01:05:25.12 ID:W2XzNBcH0
悪いが大学の知識を使わせてもらった
かきが25個でみかんが64個だな。

66x+35y=3890
の一般解は
x=35t−35010
y=−66t+66130
あとはx、yが正の数となる整数tを求める。


89 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 01:44:42.67 ID:W2XzNBcH0
>>63を高校の知識(はちょっと超えるかもしれない)で解いてみる。

かきの個数をx、みかんの個数をyとすると
66x+35y=3890  …@

まず

66X+35Y=1

となる整数XとYを見つける。係数が小さければ勘で見つけるのは簡単だが
係数が大きくなると見つけるのは難しい。そこでユークリッドの互除法なるものを使う。

66=1×35+31 35=1×31+4
31=7×4+3 4=1×3+1

すると

1=4-1×3
=4-1×(31-7×4)
=8×4-1×31
=8(35-1×31)-1×31
=8×35-9×31
=8×35-9×(66-1×35)
=66×(-9)+35×17

∴66×(-9)+35×17=1 …A


90 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 01:45:30.89 ID:W2XzNBcH0
したがって66X+35Y=1を満たす整数の組(X,Y)は
   (X,Y)=(-9,17)

ここでAの両辺を3890倍すると
66×(-9×3890)+35×(17×3890)=3890  …B

@−Bより
66(x+35010)+35(y-66130)=0
66と35は互いに素であるから、tを整数として、
x+35010=35t
y-66130=-66t
とできる。
∴@の一般解は
 x=35t+35010
 y=-66t+66130

あとはx>0、y>0を同時に満たす整数tを求めて代入すれば
かきとみかんの個数が出るよ。
>>82は違う方法で解いたが高校の知識だけで解こうとなるとこれ以外に解法が浮かばん…。
もっと簡単な解き方があればよろしく。長々とすまん。


91 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 01:48:14.95 ID:W2XzNBcH0
なんどもすまんが>>90の一般解は
x=35t-35010
y=-66t+66130
な。

もっと簡単にすると、
x=35t+25
y=-66t+64
とできる。


94 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 01:58:29.46 ID:jBxNLmTt0
うーむ、深いなあ。
ちなみに、>>63は今年の灘中の入試問題です。
小学生が算数を駆使して解いちまうんだぜw


85 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。 :2008/03/28(金) 01:15:40.41 ID:OU4BeI9Q0
虚数って大小あるんですか?
例えばi+1とかとか2*iと-iとか・・・

>>85
実数のときのような大小関係はありません。
これは書いていませんが、重要なことなので覚えておいてください。




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